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證明函數(shù)可導(dǎo)性例題 證明函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)篇一
◎李思陽(yáng)本溪市機(jī)電工程學(xué)校 117022
【內(nèi)容簡(jiǎn)要】構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式。而如何構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。本文從熱門(mén)的高考題及模擬題中選出四種類(lèi)型題供師生們參考。
【關(guān)鍵詞】構(gòu)造輔助函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；不等式。
一．直接作差
1（2011·遼寧文科）設(shè)函數(shù)f(x)?x?ax2?blnx，曲線y?f(x)過(guò)p（1，0），且在p點(diǎn)處的切線斜率為2.（1）求a，b的值；
（2）證明：f(x)?2x?2。
（1）解：f?(x)=1+2ax??1?a?0b.由已知條件得f(1)?0，f?(1)=2，即? x?1?2a?b?2
解得??a??1。
?b?3
(2)證明:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f(x)?x?x2?3lnx。
設(shè)g(x)?f(x)?(2x?2)=2?x?x?3lnx，則g?(x)=?1?2x?23(x?1)(2x?3)=。xx
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g?(x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g?(x)＜0。
所以g(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減。而g(1)=0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)?2x?2。
總結(jié)：直接作差g(x)?f(x)?(2x?2)，用導(dǎo)數(shù)得gmax(x)?g(1)=0，從而得證。直接作差是證這類(lèi)題最常用的方法。
二．分離函數(shù)
2.（2011·課標(biāo)全國(guó)卷文科）已知函數(shù)f(x)?
處的切線方程為x?2y?3?0。
（1）求a，b的值；
（2）證明：當(dāng)x＞0，且x?1時(shí)，f(x)＞
(1)解:略a?1，b?1。alnxb?，曲線y?f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）x?1xlnx。x?1
lnx1lnx1x2?1?，所以f(x)?(2lnx?)。（2）證明：由（1）知f(x)?=x?1xx?11?x2x
x2?1考慮函數(shù)h(x)=2lnx?（x＞0），則 x
22x2?(x2?1)(x?1)2
=。h?(x)=?22xxx
所以當(dāng)x?1時(shí)，h?(x)＜0，而h(1)?0
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h(x)＞0，可得，故 1h(x)＞0； 21?x
1h(x)＞0。當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h(x)＜0，可得1?x2
lnx從而當(dāng)x＞0，且x?1時(shí)，f(x)＞。x?1
總結(jié)：作差后的函數(shù)如可分為兩個(gè)函數(shù)的積，直接求導(dǎo)很繁，可取其中一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，再討論證明。
三．巧妙變形
3.（2010·遼寧文科）已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1。
（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2）設(shè)a??2，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。解：（1）略。
（2）不妨設(shè)x1≥x2，由于a??2，故f(x)在（0，+∞）減少。所以
f(x1)?f(x2)?4x1?x2等價(jià)于f(x2)?f(x1)≥x1-x2，即f(x2)?x2≥f(x1)?x1。
a?12ax2?4x?a?1?2ax?4=令g(x)?f(x)?x，則g?(x)=。于是 xx
?4x2?4x?1?(2x?1)2
?g?(x)≤≤0。xx
從而g(x)在（0，+∞）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)。即f(x1)?x1≤f(x2)?x2，故，對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。
總結(jié)：通過(guò)等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用g(x)的單調(diào)性得證。
四．作函數(shù)積
12?。exex
1212證明: 對(duì)任意的x?（0，﹢∞），lnx?1＞x??x(lnx?1)>x(x?)exexee
x2設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx?x，g(x)=x+。ee
111f?(x)=lnx?2，f?(x)=0，得x?2，易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.（2011·本溪一中模擬）對(duì)任意的x?（0，﹢∞），求證：lnx?1＞
1ex?xex
??，=0，得1，易知==。g(1)g?(x)=g(x)g(x)x?maxee2x
11??，∴fmin(x)＞gmax(x)，∴f(x)?g(x)。ee2
x212∴xlnx?x?x+。因此lnx?1＞x?。exeee∵?
總結(jié)：直接做不好做，不等式兩邊同乘以一個(gè)函數(shù)，先進(jìn)行證明，得到結(jié)果后再同除以這個(gè)函數(shù)，從而證得。
證明函數(shù)可導(dǎo)性例題 證明函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)篇二
1.討論函數(shù)f(x)??2.已知f(x)???x?1,x?1在x?1處的連續(xù)性。
?1?x,x?1?2x,x?1在x?1處的連續(xù)，試求a值。
?ax?b,x?1?ex,x?03.設(shè)函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)，試求a值。
?a?x,x?04.討論函數(shù)f(x)???x,x?0在x?0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。
??x,x?0?sinx,x?05.設(shè)函數(shù)f(x)??，求f?(0)。
?x,x?01??xarctan,x?06.證明函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)但不可導(dǎo)。x?0,x?0?1?sinx)?a?2,x?0?b（7.確定a.與b的值，使f(x)??在x?0處可導(dǎo)。axe?1,x?0??x2,x?08.已知函數(shù)f(x)??，求f??(0)及f??(0)又f?(0)是否存在？
??x,x?0?x2,x?0?9.設(shè)函數(shù)f(x)??a,x?0，則a為何值時(shí)f(x)在x?0處的連續(xù)，并討?x,x?0?論此時(shí)函數(shù)在x?0處是否可導(dǎo)。
?x2,x?310.確定a.與b的值，使f(x)??在x?3處可導(dǎo)。
ax?b,x?3?
