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最新證明函數(shù)連續(xù)且可導匯總
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證明函數(shù)連續(xù)且可導篇一

函數(shù)連續(xù)性

有關(guān)知識:

(1)連續(xù)與間斷的概念及間斷點分類.

(2)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用(中間值存在性證明及方程根存在性證明).(3)f(x)在x0處連續(xù)?f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).

例1:設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有定義,且函數(shù)exf(x),e?f(x)在(0,1)內(nèi)都是單增函數(shù),證明f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù).

分析:欲證f(x)在?x0?(0,1)處連續(xù),需證左,右都連續(xù) 證明:對?x0?(0,1),由題設(shè)知當x?(x0,1)時,有

e所以 ex0?xx0f(x0)?exf(x),,e?f(x0)?e?f(x)

f(x0)?f(x)?f(x0)

x?x0?f(x)?f(x0),即f(x)在x0處右連續(xù) 令x?x0,由夾逼定理得lim?類似地,可證f(x)在x0處左連續(xù),于是得結(jié)論.

例2:設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且對?x?[a,b],存在y?[a,b],使得|f(y)|?證明:至少存在一點??[a,b],使得f(?)?0. 分析:初一看無處下手,此時可試一試反證法。

證明:若對x?[a,b],f(x)?0,則f(x)在[a,b]上恒正或恒負,不妨設(shè)f(x)?0,?x?[a,b],則?x0?[a,b],使得 f(x0)?minf(x)?m?0

x?[a,b]1|f(x)|,2對此x0,存在y,使得 f(y)?|f(y)|?從而得出矛盾.故結(jié)論成立.

1m|f(x0)|? 22例3設(shè)f是定義在一個圓周上的連續(xù)函數(shù),證明存在一條直徑,使得f在直經(jīng)的兩端取相同值. 分析:首先要將問題用數(shù)學語言表達,設(shè)圓周的圓心為o,取圓周上一點a,b為圓周上任一點,記?aob??,??[0,2?],則該問題用數(shù)學語言表達為:

已知f(?)在[0,2?]上連續(xù),且f(0)?f(2?),求證存在?0?[0,?],使得f(?0)?f(?0??). 此問題的證明不困難:

pageof 3 令f(?)?f(?)?f(???),則f(0)f(?)?0,從而由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知 ??0?[0,?],使得

f(?0)?0,即可得結(jié)論.

或 令f(?)?f(?)?f(???),則f(0)?f(?)?0,從而由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知

??0?[0,?],使得

f(?0)?f(0)?f(?)?0,即可得結(jié)論.

2或 可用反證法證明,請同學們完成。

由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推得的兩個結(jié)論是可以直接用的:

(1)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值分別為m和m,則f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[m,m]。

(2)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則對任意的x1,x2,???,xn?[a,b],存在??[a,b],使得1nf(?)??f(xi)。

ni?1練習題

x2n?1?ax2?bxb?_______1.設(shè)f(x)?lim 為連續(xù)函數(shù),則a?_______,.

n??x2n?1(答案:0,1)11?2.求f(x)?x1?x的間斷點,并確定其類型.

11?x?1xex?bx?1為可去間斷點,3.設(shè)f(x)?,且已知x?e為無窮間斷點,則b?_______.

(x?a)(x?b)(答案:e)

4.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)至多只有第一類間斷點,且對?x,y?(a,b),有

f(x?yf(x)?f(y))? 22 證明:f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù).

(任取 x0?(a,b),由題設(shè)有f(x?x0f(x)?f(x0)?)?,令x?x0,可得 22pageof 3

f(x0?0)?f(x0),令x?x0,可得f(x0?0)?f(x0);

又f(x0)?f(?x0?h?x0?hf(x0?h)?f(x0?h)?)?,令h?0,可得

22f(x0?0)?f(x0?0)?2f(x0),所以有 f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0))

5.設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù),且limf(x)???,f(x)的最小值f(a)?a,求證f(f(x))x???至少在兩個不同的點處取得它的最小值.

(易見 f(f(x))的最小值為f(a),故只需證存在x1?x2,使得f(x1)?f(x2)?a)6.設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù),且f(f(x))?x,求證存在一點?,使得f(?)??.(用反證法證明)

pageof 3

證明函數(shù)連續(xù)且可導篇二

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __:_ :___: ___________名______________業(yè)_姓_____ _號_____ _::___級_ ____別年專______學

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數(shù) 極限 連續(xù)試題

1.

設(shè)f(x)?

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2

為r上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域d上函數(shù)f(x,y)對于變量x連續(xù),對于變量y 的一階偏導數(shù)有界,試證:f(x,y)在d上連續(xù).(共12頁)第1頁

5.求lim(

2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù),恒不為0,求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設(shè)x??

ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.(共12頁)第2頁

10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續(xù),求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0,求lim)

x?0x2

.12.設(shè)lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題:當x?0時,?x

1?cost2

0t

是關(guān)于x的4階無窮小量.114.設(shè)a為常數(shù),且lim(

ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在,求a的值,?1

(共12頁)第3頁

215.設(shè)lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在,且a?n?,求a的值,(1?ex)

16.

求n(a?0).?n

17.

求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設(shè)lim)

x?0

3x?1

=5,求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項式,且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1,求xlim(x)

?3ax?3a的值.(共12頁)第4頁

24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的,單調(diào)遞減的,且

dn??f(k)??f(x)dx,試證明:數(shù)列?dn?收斂.n

n

20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明:(1)?(?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數(shù)列;(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數(shù)列:a1

11?2,a2?2?2,a3?2?,2?2

a4?2?

12?

1的極限存在,求此極限.2?2

(共12頁)第5頁

k?1

25.設(shè)數(shù)列?xn?,x0?a,x1?b,求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.

求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2),(共12頁)第6頁

29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為t(t?0)的連續(xù)函數(shù),且f(x)?0,試證:

xlim1x???x?0f(t)dt?1t?t0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

(1?x)n

n

31.設(shè)lim(

1?x)?x

???tetx??x

??dt,求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續(xù)性.33.

判斷函數(shù)f(x.(共12頁)第7頁

34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù),f(0)=0,定義函數(shù)

?g(x)??

f?(0)當x?0?,試證:g(x)?f(x)

?x當x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),f(a)?f(b),對x?(a,b),g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在,試證:存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù),如果?b

a[f(x)]2dx?0,試證:

f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù),且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?a,試證:f?(0)=a.(共12頁)第8頁

38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導,過點a(a,f(a))與b(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于c(c,f(c)),其中a?c?b.試證:至少存在一點??(a,b),使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x),g(x),h(x)在a?x?b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,試證:

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b),使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).

41.

設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導點的個數(shù).(共12頁)第9頁

42.

設(shè)f(x(0?x?

?),求f?(x).43.

設(shè)xn?1?(n?1,2,3,),0?x1?3,試說明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數(shù)f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.(共12頁)第10頁

??1?

46.求數(shù)列?nn?的最小項.

??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù),在(0,2)內(nèi)有二階導數(shù),且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1,?

f(x)dx?f(2),試證:存在??(0,2),使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證:若函數(shù)f(x)在點a處連續(xù),則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續(xù).(共12頁)第11頁

12頁)第12頁

(共

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在備課過程中,編寫教案是提高教學質(zhì)量的一項重要工作。教案的教學流程要合理安排,從啟發(fā)性引入到鞏固性練習,層層遞進。以下是小編為大家收集的教案范文,僅供參考,希望
“方”即方子、方法。“方案”,即在案前得出的方法,將方法呈于案前,即為“方案”。方案的格式和要求是什么樣的呢?以下是小編精心整理的方案策劃范文,僅供參考,歡迎大
計劃需要靈活性,適應(yīng)環(huán)境和情況的變化,并及時進行調(diào)整。編制計劃的第一步是明確自己的目標和需求,確保計劃的方向正確。通過了解一些成功的計劃案例,我們可以借鑒其經(jīng)驗
總結(jié)是對過去一定時期的工作、學習或思想情況進行回顧、分析,并做出客觀評價的書面材料,它有助于我們尋找工作和事物發(fā)展的規(guī)律,從而掌握并運用這些規(guī)律,是時候?qū)懸环菘?/div>
總結(jié)是經(jīng)驗的結(jié)晶,是成長的記錄。寫總結(jié)要注意不要泛泛而談,要具體、有深度。以下是一些相關(guān)學術(shù)論文的摘要,可以深入了解該領(lǐng)域的研究成果。正比例函數(shù)教后反思篇一《正
人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退,寫作可以彌補記憶的不足,將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來,也便于保存一份美好的回憶。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎?
人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退,寫作可以彌補記憶的不足,將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來,也便于保存一份美好的回憶。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注
教案是教師備課的重要內(nèi)容之一,是教學計劃的具體體現(xiàn)。教案應(yīng)體現(xiàn)“因材施教”和個性化教學的原則。小編為大家收集了一些優(yōu)秀教師的教案分享,希望對大家的備課工作有所幫
每個人都曾試圖在平淡的學習、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎?這里我整理
在日常的學習、工作、生活中,肯定對各類范文都很熟悉吧。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?接下來小編就給大家介紹一下優(yōu)秀的范文該怎么寫,我們一起來
范文為教學中作為模范的文章,也常常用來指寫作的模板。常常用于文秘寫作的參考,也可以作為演講材料編寫前的參考。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎?下面是小
無論是身處學校還是步入社會,大家都嘗試過寫作吧,借助寫作也可以提高我們的語言組織能力。那么我們該如何寫一篇較為完美的范文呢?下面我給大家整理了一些優(yōu)秀范文,希望
時間過得真快,總在不經(jīng)意間流逝,我們又將續(xù)寫新的詩篇,展開新的旅程,該為自己下階段的學習制定一個計劃了。我們該怎么擬定計劃呢?下面我?guī)痛蠹艺覍げ⒄砹艘恍﹥?yōu)秀的
通過總結(jié),我們可以發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)點和不足,從而更好地改進自己??偨Y(jié)應(yīng)該言之有物,突出自身的觀點和思考。希望這些總結(jié)范文能夠給大家?guī)硪恍﹩l(fā)和幫助,引導大家寫好自
作為一位杰出的教職工,總歸要編寫教案,教案是教學活動的總的組織綱領(lǐng)和行動方案。寫教案的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?下面是小編為大家?guī)淼膬?yōu)秀教案范
總結(jié)是對過去一定時期的工作、學習或思想情況進行回顧、分析,并做出客觀評價的書面材料,它有助于我們尋找工作和事物發(fā)展的規(guī)律,從而掌握并運用這些規(guī)律,是時候?qū)懸环菘?/div>
計劃是對未來一段時間內(nèi)所要完成的任務(wù)和目標進行安排和規(guī)劃的過程。和他人溝通合作,根據(jù)實際情況調(diào)整計劃。通過合理的計劃,我們可以提前預(yù)見和解決可能遇到的問題。要寫
每個人都應(yīng)該制定自己的計劃,以實現(xiàn)個人和職業(yè)發(fā)展的目標。首先,我們應(yīng)該明確目標,確定要達到的成果或結(jié)果。計劃是實施和持續(xù)改進的基礎(chǔ),希望大家能夠?qū)W到一些有用的經(jīng)
每個人都曾試圖在平淡的學習、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?下面
報告材料主要是向上級匯報工作,其表達方式以敘述、說明為主,在語言運用上要突出陳述性,把事情交代清楚,充分顯示內(nèi)容的真實和材料的客觀。那么,報告到底怎么寫才合適呢
議論文是通過辯證思維和邏輯推理來表達觀點和論證的一種文體。在寫總結(jié)時,可以結(jié)合實際案例和數(shù)據(jù)進行分析和說明。通過閱讀他人的總結(jié)范文,可以發(fā)現(xiàn)共同的經(jīng)驗和問題,借
當工作或?qū)W習進行到一定階段或告一段落時,需要回過頭來對所做的工作認真地分析研究一下,肯定成績,找出問題,歸納出經(jīng)驗教訓,提高認識,明確方向,以便進一步做好工作,
在日常學習、工作或生活中,大家總少不了接觸作文或者范文吧,通過文章可以把我們那些零零散散的思想,聚集在一塊。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?這
工作學習中一定要善始善終,只有總結(jié)才標志工作階段性完成或者徹底的終止。通過總結(jié)對工作學習進行回顧和分析,從中找出經(jīng)驗和教訓,引出規(guī)律性認識,以指導今后工作和實踐
社會是一個綜合性的概念,涵蓋了人類社會各個領(lǐng)域的方方面面??偨Y(jié)可以通過列舉事實、數(shù)據(jù)或例子來支持觀點。寫總結(jié)是一個不容易的過程,以下是一些小編為您準備的總結(jié)范文
堅持鍛煉身體,保持健康的生活方式。如何培養(yǎng)青年人的社會責任感和公民意識?這是社會發(fā)展的重要任務(wù)。在這里,小編為大家整理了一些優(yōu)秀的總結(jié)范文,供大家參考和學習。學
每個人都需要制定計劃,無論是在學習、工作還是生活中。制定計劃時,需要合理分配任務(wù)和責任,確保協(xié)作順利進行。以下是一些制定計劃時需要注意的事項,可以提高計劃的有效
時間流逝得如此之快,我們的工作又邁入新的階段,請一起努力,寫一份計劃吧。計劃怎么寫才能發(fā)揮它最大的作用呢?下面是小編帶來的優(yōu)秀計劃范文,希望大家能夠喜歡!滬科版
通過對過去一段時間的經(jīng)驗總結(jié),我們可以更好地規(guī)劃未來的發(fā)展方向??偨Y(jié)的過程應(yīng)當全面客觀地反映自己在某段時間內(nèi)的表現(xiàn)和收獲。以下是小編為大家準備的一些案例和經(jīng)驗分
無論是身處學校還是步入社會,大家都嘗試過寫作吧,借助寫作也可以提高我們的語言組織能力。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?下面是小編為大家收集的優(yōu)
議論文是表達觀點和論證的一種方式,通過寫議論文可以鍛煉自己的觀點清晰和論證能力。在寫總結(jié)的過程中,要注意避免復制粘貼和簡單概括,要有自己的見解。接下來是一些總結(jié)
在制定計劃時,我們需要考慮自己的現(xiàn)實條件和資源限制。在制定計劃時,要考慮周圍環(huán)境和他人的支持與合作。最后,我們還需要根據(jù)實際情況不斷優(yōu)化和調(diào)整計劃,以適應(yīng)不斷變
在日常的學習、工作、生活中,肯定對各類范文都很熟悉吧。范文書寫有哪些要求呢?我們怎樣才能寫好一篇范文呢?以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文,僅供參考,一起來看看吧匯報
總結(jié)是一次回顧,是人生中進行自我調(diào)整和優(yōu)化的重要方式之一。在總結(jié)中如何突出重點,讓讀者一目了然?接下來,讓我們一起來看看一些總結(jié)范文,或許能給您帶來一些啟示。滬
總結(jié)是使我們更好地認識自己、提高自己的利器。編寫完美的總結(jié)還需要注意結(jié)構(gòu)的完整性,每個部分都應(yīng)該有明確的內(nèi)容和觀點。廣泛了解不同領(lǐng)域的總結(jié)范文,可以提升我們的綜
在日常學習、工作或生活中,大家總少不了接觸作文或者范文吧,通過文章可以把我們那些零零散散的思想,聚集在一塊。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎?以下是我
人們常常會通過總結(jié)來反思并改善自己的工作和學習表現(xiàn)。寫總結(jié)時,要注重語言的流暢和易讀性,避免使用過于晦澀或者冗長的詞句。通過閱讀下面的總結(jié)范文,相信大家會更好地
在我們的日常生活中,我們時常會經(jīng)歷各種各樣的情感體驗。怎樣寫好一篇總結(jié),是許多人在寫總結(jié)過程中遇到的難題。如果你想了解一些好的總結(jié)素材,以下是小編為大家準備的一
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每個人都曾試圖在平淡的學習、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。那么我們該如何寫一篇較為完美的范文呢?以下是我為大家搜
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