高數(shù)教案指導(dǎo)記錄(四篇)

作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，常常要寫一份優(yōu)秀的教案，教案是保證教學(xué)取得成功、提高教學(xué)質(zhì)量的基本條件。那么我們?cè)撊绾螌懸黄^為完美的教案呢？下面是我給大家整理的教案范文，歡迎大家閱讀分享借鑒，希望對(duì)大家能夠有所幫助。

高數(shù)教案指導(dǎo)記錄篇一

函數(shù)研究?jī)蓚€(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而極限則是研究自變量變化時(shí)，因變量的變化趨勢(shì)。

一.極限思想―割圓術(shù)：用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積

圓內(nèi)接正六邊形面積記為a1

十二 a2

二十四 a3

6?2n?1 an?n?n?

a1,a2,?,an,?構(gòu)成一列有次序的數(shù)――數(shù)列.n→大，an?a(圓面積)。不論n如何大，只要n取定, an?a.設(shè)想n??，即內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限接近于圓，同時(shí)an→確定的數(shù)值（即圓的面積）數(shù)學(xué)上就稱為的極限（n??）。

極限方法是高數(shù)中一個(gè)基本方法。

二.數(shù)列的極限定義――xn?f?n?，d為正整數(shù)。

1.第一種定義:當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，如果xn無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，則稱當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)xn的極限是a.2.“??n”def 當(dāng)???0，不論它多么小，總?n?0,?對(duì)于n?n的一切xn，恒有xn?a??成立，則limxn?a.如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱是發(fā)散的。

n?? *1.?是任意給定（任意性）

*2.n與?有關(guān)，隨?給定而選定，一般地?越小，n越大，n大到何種程度，取決于使xn?a??成立時(shí)xn的項(xiàng)數(shù)n的取值，定義中僅要求n有關(guān)，并不一定要找出最小的自然數(shù)n.*3幾何意義：n?n時(shí)，所有的xn都落在?a??,a???內(nèi)，即數(shù)列只有有限個(gè)（最多只有n個(gè)）在區(qū)間之外。*4利用定義不能直接求極限。

三.極限的證明

1例1 證明lim(1?)?1

n??1?n111?1???，?n??1 證：???0，要使1?1?n1?n?111?1?取n?[?1],則當(dāng)n?n時(shí),有1???, 1?n1?n?1 ∴l(xiāng)im(1?)?1

n??1?n limxn?a的證明步驟：

n?? 1)給定???0

2)要使xn?a??,解出n?n(?)3)取n，即n?.4)當(dāng)n?n時(shí)，有xn?a??

5)下結(jié)論。n!例2 證明 limn?0

n??nn!證：???0，要使n?0＜?，nn!nn?111只要n?0＝????

nnnnnn!11取 n?[],則當(dāng)n?n=[]時(shí)，有n?0??

n??n!∴l(xiāng)imn?0 n??n 例3 ???n?1?n?0 n?1?n??

?證：???0，要使只要111???,n?2

4?n?1?n2n1取n?[2]

則當(dāng)n?n時(shí)有n?1?n??, 4?∴l(xiāng)imn???n?1?n?0.2n?1? 例4 設(shè)q?1，證明等比數(shù)列1,q,q,?,qn?1,?的極限是0。

?? 證：???0???1?∵xn?0?qln?取自然對(duì)數(shù)，解得∴n?1?，lnqln?n?1]，則當(dāng)n?n時(shí)有xn?0?q?? 取n?[1?lnq limqn??n?1?0。

四.收斂數(shù)列的性質(zhì)

1.極限的唯一性

定理１ 數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。2.有界性

（1）有界概念：數(shù)列xn，若?m?0，對(duì)一切xn有xn?m，稱xn有界。

（2）收斂數(shù)列的有界性

定理2 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。

若xn無(wú)界?xn發(fā)散。xn有界，則不一定收斂。

如xn???1?n?1,即?1,1,?1,1,?,??1?n?1,?

∴數(shù)列有界是收斂的必要條件，非充分條件。3.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系

子數(shù)列：在數(shù)列?xn?中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的次序，得到的一個(gè)數(shù)列為原數(shù)列?xn?的子數(shù)列。xn

k定理3 若?xn?收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列。?

小結(jié)：本節(jié)介紹了數(shù)列極限的定義，理解利用定義證明數(shù)列的極限，知道收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。

??

高數(shù)教案指導(dǎo)記錄篇二

高

等

數(shù)

學(xué)

第三次課

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極限，無(wú)窮小，無(wú)窮大 教學(xué)目的：（1）正確了解函數(shù)極限的概念，了解用???（x?x0)與??x（x??)語(yǔ)言驗(yàn)證函數(shù)極限的步驟。

（2）了解無(wú)窮小概念及其與函數(shù)極限的關(guān)系

（3）了解無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，函數(shù)的左右極限與函數(shù)極限的關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義、無(wú)窮小的概念 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)關(guān)鍵：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)過(guò)程：

一、由數(shù)列極限引入函數(shù)極限

根據(jù)自變量情況的不同，函數(shù)的極限分為兩類：

（x??)（1）自變量趨于無(wú)窮大的函數(shù)的極限（2）自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

二、定義

1、自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論多么?。偞嬖谡龜?shù)?，使得當(dāng)x滿足不等式0?|x?x0|??時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)?a|??，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)（x?x0)時(shí)的極限，記做x?x0limf(x)?a或f(x)?a（當(dāng)x?x0)

說(shuō)明：

1、對(duì)于給定的??0，?不唯一

2、f(x)在x0有無(wú)極限與有無(wú)定義無(wú)關(guān)

（2x?3)?5 例

1、limx?1證明：???0,要使|2x?3?5|??,?|2x?3?5|?2|x?1|，?只要2|x?1|??,即|x?1|?例

2、證明極限limx?4

x?22?2，????0,取???2當(dāng)0?|x?1|??時(shí)有|2x?3?5|??，得證。

證明：??0,要使|x?4|?? 2考慮x?2時(shí)x2的變化趨勢(shì)，故不妨設(shè)1

??只要5|x?2|??,即|x?2〈|

5?????0,取??min{1,},當(dāng)0?|x?2|??時(shí)，有|x2?4|???得證

5左極限與右極限

（1）當(dāng)x從x0的左邊趨于x0時(shí)，f(x)?a，則稱a為f(x)當(dāng) x?x0的左極限，記作x?x0?limf(x)?a或f(x0?0)?a

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2013-4-11 徐屹

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學(xué)

（2）當(dāng)x從x0的右邊趨于x0時(shí)，f(x)?a，則稱a為f(x)當(dāng) x?x0的右極限，記作x?x0?limf(x)?a或f(x0?0)?a

x?x0?f(x0?0)?a 結(jié)論：limf(x0)?a?f(x0?0）（x??)

2、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限x??的三種情況：x???

（x?0）

x???

（x?0）

x??

（|x|??)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論它多?。?，總存在著正數(shù)x，使得當(dāng) x滿足不等式|x|>x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

|f(x)?a|??，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限，記作

limf(x)?a，或f(x)?a（當(dāng)x??)

x??定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論它多?。偞嬖谥龜?shù)x，使得當(dāng) x滿足不等式x>x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

|f(x)?a|??，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x???時(shí)的極限，記作

x???limf(x)?a，或f(x)?a（當(dāng)x???)

說(shuō)明：類似可以定義函數(shù)的左極限

sinx?0

x??xsinxsinxsinx1?0|??，?|?0|?||?證明：???0,要使| xxx|x|11?只要??,即|x|?

|x|?1sinx????0,取x?當(dāng)|x|?x時(shí)有，|?0|?? 所以得證

?x例：利用極限定義證明lim

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、（唯一性）如果limf(x)存在，則此極限唯一。

x?x0

2、（局部有界性）如果limf(x)=a，那么存在常數(shù)m>0,和??0，使得當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)有x?x0|f(x)|?m

證明：因?yàn)閘imf(x)=a，所以取x?x0??1，則???0,當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有|f(x)?a|?1?|f(x)|?|f(x)?a|?|a|?|a|?1 記m=|a|?1，則得證

3、（局部保號(hào)性）如果limf(x)=a而且a>0（或a

x?x00?|x?x0|??時(shí)，有f(x)>0(或f(x)?0)徐屹

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說(shuō)明：由此定理可以得到更強(qiáng)的結(jié)論：

如果limf(x)=a（a?0），那么就存在著x0的某一去心鄰域u(x0)，當(dāng)x?u(x0)時(shí)，就有x?x0oo|a| 20f(x)?0），而且limf(x)?a，推論：如果x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)?（或那么a?0或（a?0）|f(x)|?x?x0函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：如果limf(x)存在，{xn}為函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)x?x0列，且滿足：x?x0(n?n?)，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}必收斂，且limf(xn)?limf(x)

n??x?x0證明：設(shè)limf(x)=a，則???0,???0,當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)有，|f(x)?a|

x?x0又因limxn?x0,故對(duì)??0,?n,當(dāng)n?n時(shí)，有|xn?x0|??

n??由假設(shè)，xn?x0,。故當(dāng)n?n時(shí)，0?|x?x0|??，從而|f(xn)?a|??，即limf(xn)?a

n??

四、無(wú)窮小與無(wú)窮大

1、無(wú)窮?。喝绻瘮?shù)f(x)當(dāng)x?x0或（x??)時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x)時(shí)的無(wú)窮小。 0或（x??如x?0時(shí)：x2,sinx,tgx,1?cosx為無(wú)窮小 如x??時(shí)，,e1x?x2為無(wú)窮小

說(shuō)明：1任何一個(gè)非零常數(shù)都不是無(wú)窮小量

2一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮小量，與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)

定理

1、在自變量的同一變化過(guò)程x?x0或（x??)中，函數(shù)f(x)具有極限a的充分必要條件是f(x)=a+?，其中?是無(wú)窮小。

2、無(wú)窮大

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)m，總存在正數(shù)?（或正數(shù)x），只要x適合不等式0?|x?x0|??（或|x|?x），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式|f(x)|?m，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)的無(wú)窮大。注意：無(wú)窮大與很大數(shù)的區(qū)別

3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

定理：在同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則

1為無(wú)窮小：反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)f(x)?0，則1為無(wú)窮大 f(x)2例：當(dāng)x?0時(shí)，x?5為無(wú)窮小，1為無(wú)窮大。2x?5說(shuō)明：此定理只使用于同一變化過(guò)程。

徐屹 第 3 頁(yè) 2013-4-11

高數(shù)教案指導(dǎo)記錄篇三

教案設(shè)計(jì)

教材：《高等數(shù)學(xué)》（第三版）上冊(cè)，第一章函數(shù)與極限，第三節(jié)函數(shù)的極限。

一、計(jì)劃學(xué)時(shí)

本小節(jié)分為兩個(gè)部分，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)有一定的難度，所以也就分為兩個(gè)學(xué)時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第一學(xué)時(shí)：自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限。第二學(xué)時(shí)：自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限。（本次教案主要說(shuō)明第一學(xué)時(shí)的內(nèi)容。）

二、教材處理

通過(guò)第一節(jié)關(guān)于函數(shù)基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及高中時(shí)已經(jīng)對(duì)函數(shù)極限有過(guò)一定的學(xué)習(xí)了解與鋪墊，所以就要通過(guò)一些基本的示例，來(lái)一步步引導(dǎo)學(xué)生接觸本節(jié)的內(nèi)容，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究。來(lái)擴(kuò)展同學(xué)們的知識(shí)面，并易于接受新內(nèi)容。

三、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)和能力目標(biāo)：

1、通過(guò)教學(xué)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、以及數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。讓你給同學(xué)們積極思考、敢于提出自己的想法。

2、讓同學(xué)們掌握一些本節(jié)教學(xué)中所涉及的技能技巧。

3、通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，增強(qiáng)學(xué)生們的邏輯思維能力，提高學(xué)習(xí)的興趣和能力。傳達(dá)出數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。

四、教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)

1、如何讓學(xué)生較快的接受新的理念與知識(shí)，而改掉以前類似的學(xué)習(xí)中的定勢(shì)與習(xí)慣性思維。

2、讓學(xué)生們熟練的運(yùn)用書中所涉及的公式與理解一些重要的定理，從而更好的做題。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、總體思路

先通過(guò)在黑板上寫一些以前學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)的例題，讓同學(xué)們到黑板上去做。然后，對(duì)題目做一些變形，就成了本小節(jié)所學(xué)的知識(shí)，此時(shí)，就要通過(guò)一步步的引導(dǎo)，讓同學(xué)們呢了解步驟的方法技巧。最后，就是先要學(xué)生們自己總結(jié)本節(jié)的內(nèi)容與規(guī)律技巧，之后，再告訴同學(xué)們本節(jié)所需要重點(diǎn)掌握的知識(shí)。

2、教學(xué)過(guò)程

（1）先讓同學(xué)們大致看一下本小節(jié)內(nèi)容，對(duì)本節(jié)內(nèi)容有一定的了解。（4分鐘）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)讓同學(xué)們進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，對(duì)本小節(jié)內(nèi)容有大志的了解，以便于學(xué)生更易于接受新知識(shí)。

（2）通過(guò)小例子讓大家熟悉并初步認(rèn)識(shí)一下極限的概念。如：?jiǎn)栴}：當(dāng)x無(wú)限接近于1的時(shí)候，函數(shù)f(x)=2x-1的取值。解析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化成|f(x)-1|最小取值，因?yàn)閨f(x)-1|可以無(wú)限變小，也就是無(wú)限趨近于0，所以當(dāng)x無(wú)限接近于1的時(shí)候，函數(shù)f(x)=2x-1的取值就是0.（5分鐘）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生們的思維，帶到新的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力以及發(fā)撒思維能力。（3）由上面例子，先讓同學(xué)們自己總結(jié)規(guī)律，給出定義：設(shè)函數(shù)f(x)在某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)a，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)m，總存在正數(shù)k,只要點(diǎn)x適合不等式0

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)照上面例題再給出定義，就更加便于理解與接受，同時(shí)增強(qiáng)同學(xué)們的概括能力與創(chuàng)新意識(shí)。

（4）根據(jù)所給的定義，舉例子說(shuō)明并讓同學(xué)們熟悉做題的步驟。如：證明：當(dāng)x趨向于2時(shí)，函數(shù)f(x)=4x-7趨向于1.（步驟略）之后找一些同學(xué)到黑板上做題。如：證明當(dāng)x趨向于x時(shí)，函數(shù)f(x)=x趨向于x.(步驟略)等一些例題。（13分鐘）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)立體讓同學(xué)們更加熟悉新的知識(shí)與步驟，掌握本節(jié)的知識(shí)技巧技能。

（5）給出一個(gè)推論：函數(shù)存在極限的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等。并給出例子：f(x)=x-1(當(dāng)x0).證明：當(dāng)x趨向于0時(shí)，f(x)的極限不存在。（證明略）（9分鐘）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：既符合課本的教學(xué)要求又?jǐn)U大學(xué)生們的知識(shí)面。（6）對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，提醒同學(xué)們本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，以及易錯(cuò)點(diǎn)，并布置相對(duì)應(yīng)的課后習(xí)題（4分鐘）。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：使同學(xué)們透過(guò)練習(xí)，一個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一道練習(xí)題，讓本節(jié)課所學(xué)到的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際計(jì)算能力。

（7）形成性總結(jié)。課后通過(guò)作業(yè)的批改，從而發(fā)現(xiàn)學(xué)生中普遍存在的問(wèn)題以及主要犯的錯(cuò)誤，進(jìn)行反思與總結(jié)，以便在下節(jié)課中再次強(qiáng)調(diào)一下易錯(cuò)的點(diǎn)以及需要特別注意的問(wèn)題。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：目的在于在反饋信息中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，而在后續(xù)教學(xué)中及時(shí)解決，以保證教學(xué)效果最優(yōu)化。

六、本節(jié)課的設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課目的在于鍛煉學(xué)生們的計(jì)算能力以及邏輯思維能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生積極思考、樹立創(chuàng)新意識(shí)。符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

高數(shù)教案指導(dǎo)記錄篇四

第7

5、76課時(shí)：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念； 2．熟練掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 2．掌握幾何級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念及幾何級(jí)數(shù)；

2、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

【教學(xué)難點(diǎn)】

級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

§12? 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

1．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義

給定一個(gè)數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?叫做常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)? 簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)? 記為?un? 即

n?1??

n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)?

2．級(jí)數(shù)的部分和? 作級(jí)數(shù)?un的前n項(xiàng)和sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

n?1i?1?n稱為級(jí)數(shù)?un的部分和?

n?1??

3． 級(jí)數(shù)斂散性定義? 如果級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s? 即limsn?s?

n?1n??則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un收斂? 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和?

n?1?并寫成s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}沒(méi)有極限? 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n?1?

余項(xiàng)? 當(dāng)級(jí)數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級(jí)數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

n?1n?1??

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 叫做級(jí)數(shù)?un的余項(xiàng)?

n?1?

例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ? ?的斂散性? 其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0?

當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0??

當(dāng)q??1時(shí)? 級(jí)數(shù)?aqn成為

n?0

a?a?a?a? ? ? ??

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級(jí)數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a,|q|?1?綜上所述，級(jí)數(shù)?aqn??1?q

n?0?|q|?1???提醒學(xué)生一定要熟練記住上述結(jié)論！

例2 證明級(jí)數(shù)

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是發(fā)散的?

證 此級(jí)數(shù)的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n??n(n?1)?

2顯然? limsn??? 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的?

例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性?

提示? un?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)1?1?1?

n(n?1)nn?

1二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)?kun也n?1n?1??收斂? 且其和為ks?

性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則級(jí)數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?

n?1n?1????

性質(zhì)3 如果?un?s? 則?kun?ks?

n?1n?1???

性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級(jí)數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1s???

性質(zhì)5 如果?un?s、?vn??? 則?(un?vn)?s???

n?1n?1n?1???

性質(zhì)6

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?

比如? 級(jí)數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級(jí)數(shù)10000?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級(jí)數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)7 如果級(jí)數(shù)?un收斂? 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂? 且其和n?1不變?

應(yīng)注意的問(wèn)題? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂? 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?

例如? 級(jí)數(shù)

（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級(jí)數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散? 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散?

級(jí)數(shù)收斂的必要條件?

性質(zhì)8 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

應(yīng)注意的問(wèn)題? 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件?

例

4證明調(diào)和級(jí)數(shù)

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是發(fā)散的? ?111

1 調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性也必須要記熟！

證： 假若級(jí)數(shù)?1收斂且其和為s? s是它的部分和?

nnn?1n??n???顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??

但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n21必定發(fā)散?

n?1n?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)?n??小結(jié)

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性的概念； 2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念以及重要性質(zhì)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解，尤其要熟練的記住等比級(jí)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)p255:3（2）4（1）（2）（3）作業(yè) p255: 3(3)；4(4),(5)

第7

7、7

8、7

9、80、8

1、82課時(shí)：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件。2．熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。3．理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，記住絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件；

2．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂 【教學(xué)難點(diǎn)】

1、比較判別法的極限形式；

2、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別。