級(jí)數(shù)一章看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際需要注意的地方也比較的多，特別如∑的下標(biāo)是從0開(kāi)始還是從1開(kāi)始？X∑Un中的X在求和函數(shù)時(shí)是放在積分符號(hào)之內(nèi)呢還是放在其之外？等等，象這種細(xì)微的差別就有可能使您的求解結(jié)果相差十萬(wàn)八千里。以下是一些關(guān)于本人在求解級(jí)數(shù)試題時(shí)所作的技巧和注意點(diǎn)總結(jié)，看一下您是否曾經(jīng)也犯過(guò)類(lèi)似的錯(cuò)誤。

1）∑（0，∞）sin(aπ)=∑（0，∞）(-1)^nsin(aπ-nπ)

2）在運(yùn)用萊布尼茲判斂法則時(shí)的第二個(gè)條件可以運(yùn)用單調(diào)性判斷；即f'(x)是否大于0？

3）在解展開(kāi)冪級(jí)數(shù)或求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，收斂域的求解勿忘。

4）在某點(diǎn)處展開(kāi)冪級(jí)數(shù)除了寫(xiě)出收斂域外還要去除該點(diǎn)。

5）在解冪級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)應(yīng)注意，∑的下標(biāo)是從0開(kāi)始還是從1開(kāi)始，在具有積分時(shí)還需看f(0)是否為0。即∫f'(x)dx+f(0)=f(x).這一點(diǎn)作了新的修訂

6）在求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)時(shí)，積分，導(dǎo)數(shù)既可對(duì)∑內(nèi)的X起作用，也可以對(duì)∑外的X起作用，但需要一一對(duì)應(yīng)，即對(duì)被處理項(xiàng)用一次積分同時(shí)必須對(duì)其用一次導(dǎo)數(shù)；反之也然。

7）求得和函數(shù)表達(dá)式時(shí)，還要看屬于收斂域，但并不屬于定義域的點(diǎn)，這些點(diǎn)需要單獨(dú)列出來(lái)，求得和函數(shù)的值。

8）當(dāng)∑（0，∞）Un中的U0=0時(shí)，∑（0，∞）Un=∑（1，∞）Un，而且在套用積分時(shí)必須寫(xiě)成后者形式，以免出現(xiàn)∫(0,x)0dx=1的錯(cuò)誤情況。注意：有的下表甚至從2開(kāi)始。如陳《復(fù)習(xí)指南》02版例8，31,(2)

9）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的四類(lèi)方法：簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換法，拆項(xiàng)相消法，遞推法，阿爾貝法。其中阿爾貝法最重要。

10）求解傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)的四點(diǎn)總結(jié)
a、對(duì)于一個(gè)級(jí)數(shù)既可以奇開(kāi)拓，又可以偶開(kāi)拓，按題目的要求確定求正弦級(jí)數(shù)還是余弦級(jí)數(shù)
b、開(kāi)拓后的級(jí)數(shù)按平常級(jí)數(shù)展開(kāi)，并注意寫(xiě)上定義域
c、定義域的端點(diǎn)的傅立葉級(jí)數(shù)是沒(méi)有意義的，如要求值，則需用狄萊克利定理求解
d、在求an或bn時(shí)出現(xiàn)[1-(-1)^n]這樣的項(xiàng)時(shí)，一般情況下使n=2k,n=2k+1分開(kāi)討論，使結(jié)果更簡(jiǎn)潔

因nanxingstar網(wǎng)友的要求，以下是如何求級(jí)數(shù)斂散性的總結(jié)

如何求級(jí)數(shù)的斂散性（拿到一個(gè)斂散性判斷問(wèn)題時(shí)怎樣入手）

首先判斷級(jí)數(shù)的類(lèi)型

1，如果級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)：則先看當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)Un是否等于0，不為0則級(jí)數(shù)發(fā)散，等于0則用以下三種方法判斷
1）比較法
2）比值法
3）根值法

技巧：
1）如果級(jí)數(shù)項(xiàng)中含有階乘的形式一般用比值法
2）如果級(jí)數(shù)項(xiàng)中含有指數(shù)項(xiàng)P^n則一般用根值法
3）既有階乘項(xiàng)又有指數(shù)項(xiàng)則一般用比值法
4）其它的一般用比較法
a、兩個(gè)定理
差形式和極限形式
b、兩個(gè)推論
數(shù)乘差形式和P-級(jí)數(shù)形式

2，如果級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)
則運(yùn)用萊布尼茲定理

技巧：
在判斷第二個(gè)條件時(shí)一般用單調(diào)性判斷

3，如果是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)
則轉(zhuǎn)化成正項(xiàng)級(jí)數(shù)，運(yùn)用任意項(xiàng)級(jí)數(shù)和正項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系試判斷（定理七）

注意點(diǎn)：
1）比值法，根值法是充分但不必要條件
2）涉及證明一般只能用比較法
3）但在判斷級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，比值法，根值法同樣適用

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