友情提示:本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學(xué)考試歷年考研真題、考博真題、答案,部分學(xué)校更新至2012年,2013年;均提供收費(fèi)下載。 下載流程: 考研真題 點(diǎn)擊“考研試卷””下載; 考博真題 點(diǎn)擊“考博試卷庫” 下載
海南師范大學(xué) 2017 年碩士研究生入學(xué)考試初試科目 考 試 大 綱 科目名稱: 實(shí)變函數(shù) 適用專業(yè): 數(shù)學(xué)各專業(yè) 一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu) (一)試卷滿分及考試時(shí)間 本試卷滿分為 100 分,考試時(shí)間為 120 分鐘。 (二)答題方式 答題方式為閉卷、筆試。 試卷由試題和答題紙組成;答案必須寫在答題紙(由考點(diǎn)提供)相應(yīng)的位置上。 二、考查目標(biāo)(復(fù)習(xí)要求) 全日制攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試實(shí)變函數(shù)科目考試內(nèi)容包括實(shí)變函數(shù)一門學(xué)科基 礎(chǔ)課程,要求考生系統(tǒng)掌握相關(guān)學(xué)科的基本知識、基礎(chǔ)理論和基本方法,并能運(yùn)用相關(guān)理論 和方法分析、解決相關(guān)的實(shí)際問題。 三、考試內(nèi)容概要 第一章 集合 1. 考試內(nèi)容 §1 集合概念:集合的描述與表示,子集,集合的相等。 §2 集合的運(yùn)算:集合的并、交、差、補(bǔ)運(yùn)算及其性質(zhì),笛·摩根公式:上限集、下限 集及其性質(zhì)。 §3 對等與基數(shù):映射、單射、滿射、雙射,逆映射及其性質(zhì);對等及其性質(zhì);基數(shù)與 基數(shù)的比較,伯恩斯坦定理。 §4 可數(shù)集合:可數(shù)集的定義及等價(jià)條件,可列集及其性質(zhì),可列集的判斷證明。 §5 不可數(shù)集合: 不可數(shù)集的存在性, 連續(xù)基數(shù)及其性質(zhì),連續(xù)基數(shù)的判斷證明,基數(shù) 無最大者。 2. 考試要求 ⑴ 理解集合的并、交、差、補(bǔ)、上限集于下限集等概念,熟練掌握集合的各種運(yùn)算, 掌握證明集合間包含與相等關(guān)系的一般方法。 ⑵ 了解基數(shù)的概念,掌握證明兩個(gè)集合對等的方法,會(huì)用伯恩斯坦定理,理解有限集 與無限集的特征。 ⑶ 理解可數(shù)集與具有連續(xù)基數(shù)的集的概念及其性質(zhì),掌握可數(shù)集, 連續(xù)基數(shù)的判斷證 明方法。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 集合的運(yùn)算及其運(yùn)性質(zhì),集合的對等,基數(shù)的比較,可數(shù)集與具有連續(xù)基數(shù)的集 合的性質(zhì)。 難點(diǎn)上限集、下限集、可數(shù)集, 連續(xù)基數(shù)的判斷證明。 第二章 點(diǎn)集 1. 考試內(nèi)容 §1 度量空間,n 維歐氏空間:度量空間概念、鄰域及其性質(zhì)、收斂點(diǎn)列、點(diǎn)集的距離 與直徑、區(qū)間概念。 §2 聚點(diǎn),內(nèi)點(diǎn),界點(diǎn):內(nèi)電,外點(diǎn),邊界點(diǎn),聚點(diǎn)及孤立點(diǎn),聚點(diǎn)及其等價(jià)條件,邊 界,內(nèi)核、導(dǎo)集與閉包概念及其簡單性質(zhì)。Bolzano-Weierstrass 定理, §3 開集、閉集、完備集:開集與閉集的及其運(yùn)算性質(zhì),海涅-波雷爾有限覆蓋定理, 緊集、自密集與完備集。 §4. 直線上的開集、閉集和完備集的構(gòu)造:直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。 平面上開集的構(gòu)造,康托(Cantor)集的構(gòu)造與性質(zhì)。 2. 考試要求 ⑴ 理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集、閉集等基本概念及聚點(diǎn)的等價(jià)條件, ⑵ 熟練掌握開集、閉集的性質(zhì),掌握開集、閉集的判斷證明方法。了解直線上開集的 構(gòu)造,知道直線上閉集和完備集的構(gòu)造。 ⑶ 了解 Bolzano-Weierstarss 定理,Borel 有限覆蓋定理。 ⑷ 了解 Cantor 集的構(gòu)造及其性質(zhì)。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 聚點(diǎn)及其等價(jià)條件,Bolzano-Weierstrass 定理,直線上開集的構(gòu)造,Borel 有限 覆蓋定理,Cantor 集。 難點(diǎn) 聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、開集、閉集、完備集等概念,Cantor 集的構(gòu)造及其性質(zhì)。 第三章、測度論 1. 考試內(nèi)容 §1 外測度:外測度及其性質(zhì), §2 可測集:可測集的定義,卡拉皆屋獨(dú)利條件,可測集的運(yùn)算性質(zhì),單調(diào)可測集列極 限的測度。 §3 可測集類:區(qū)間、開集、閉集皆可測、G6 型集,F(xiàn)?型集,可測集同開集、閉集、G6 型集、F?型集之間的關(guān)系。 2. 考試要求 ⑴ 了解勒貝格外測度的定義及主要性質(zhì)。 ⑵ 理解勒貝格可測集的定義并掌握其運(yùn)算。 ⑶ 理解勒貝格測度的可列可加性以及單調(diào)可測集列極限的測度。 ⑷ 了解常見的可測集合,知道勒貝格可測集與開集、閉集、G6 型集與 F?型集之間的關(guān) 系。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 勒貝格可測集的運(yùn)算性質(zhì),單調(diào)可測集列極限的測度,可測集同開集、閉集、G6 型 集以及 F?型集之間的關(guān)系。 難點(diǎn) 可測集概念的引入與可測集的構(gòu)造。 第四章、可測函數(shù) 1. 考試內(nèi)容 §1 可測函數(shù)及其性質(zhì):點(diǎn)集上的函數(shù):廣義實(shí)數(shù)系 R=R∪(±∞)的運(yùn)算�?蓽y函數(shù)的 定義及等價(jià)條件,連續(xù)函數(shù)與簡單函數(shù)皆可測,可測函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性, 可測函數(shù)同簡單函數(shù)列的關(guān)系,“幾乎處處”的概念。 §2 葉果洛夫定理:可測函數(shù)列的收斂性, 葉果洛夫定理。 §3 可測函數(shù)的構(gòu)造:魯金定理(兩種形式) §4 依測度收斂:依測度收斂,依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子,勒貝格定 理,黎斯定理,依測度收斂極限的唯一性。 2. 考試要求 ⑴ 了解點(diǎn)集上的連續(xù)函數(shù)、函數(shù)列的上極限與下極限、“幾乎處處”等概念。 ⑵ 理解可測函數(shù)的定義及其在代數(shù)運(yùn)算與極限運(yùn)算下的封閉性,可測函數(shù)可表為簡單 函數(shù)列的極限。 ⑶ 了解魯金定理,知道可測函數(shù)同連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。 ⑷ 理解可測函數(shù)列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互 關(guān)系。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 可測函數(shù)定義及等價(jià)條件,可測函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性,依測度 收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系,魯金定理。 難點(diǎn) 葉果洛夫定理,黎斯定理,魯金定理。 第五章、勒貝格積分 1. 考試內(nèi)容 §5.1 黎曼積分:黎曼積分定義,達(dá)布定理, §5.2 勒貝格積分的定義:測度有限集合上有界函數(shù)的勒貝格大和與小和,上積分與下 積分,有界勒貝格可積函數(shù),有界可積的充要條件是有界可測,有界勒貝格可積函數(shù)的運(yùn)算 性質(zhì),勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。 §5.3 勒貝格積分的性質(zhì):有界函數(shù)積分的積分區(qū)域與被積函數(shù)的有限可加性,積分的 線性性質(zhì)。積分的單調(diào)性與絕對可積性, §5.4 一般可積函數(shù):非負(fù)函數(shù)積分存在與可積的定義,一般函數(shù)積分存在與可積定義, 勒貝格積分的性質(zhì)。 §5.5 積分的極限定理:勒貝格控制收斂定理,列維漸升函數(shù)列積分定理,勒貝格逐項(xiàng) 積分定理,可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性,法都引理,廣義黎曼可積與勒貝格可積的關(guān)系。 §5.6 勒貝格積分的幾何意義. 富比尼定理:直積、截面的概念及性質(zhì),勒貝格積分的 幾何意義.,富比尼定理。 2. 考試要求 ⑴ 理解勒貝格積分的定義及其基本性質(zhì),特別是絕對可積性和絕對連續(xù)性是勒貝格積 分的重要特征。 ⑵ 理解勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項(xiàng)積分定理、列維定理和法都引理,并掌握它 們的應(yīng)用。 ⑶ 知道勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。 ⑷ 知道直積、截面的概念及性質(zhì),熟識勒貝格積分的幾何意義.,了解富比尼定理。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 勒貝格積分的性質(zhì),積分極限定理。 難點(diǎn) 勒貝格積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。 主要參考書: 《實(shí)變函數(shù)》,周民強(qiáng)編,北京大學(xué)出版社(第二版)
免責(zé)聲明:本文系轉(zhuǎn)載自網(wǎng)絡(luò),如有侵犯,請聯(lián)系我們立即刪除,另:本文僅代表作者個(gè)人觀點(diǎn),與本網(wǎng)站無關(guān)。其原創(chuàng)性以及文中陳述文字和內(nèi)容未經(jīng)本站證實(shí),對本文以及其中全部或者部分內(nèi)容、文字的真實(shí)性、完整性、及時(shí)性本站不作任何保證或承諾,請讀者僅作參考,并請自行核實(shí)相關(guān)內(nèi)容。
|