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海南師范大學(xué) 2017 年碩士研究生入學(xué)考試初試科目
考 試 大 綱
科目名稱: 實(shí)變函數(shù)
適用專業(yè): 數(shù)學(xué)各專業(yè)
一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷滿分及考試時(shí)間
本試卷滿分為 100 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點(diǎn)提供）相應(yīng)的位置上。
二、考查目標(biāo)（復(fù)習(xí)要求）
全日制攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試實(shí)變函數(shù)科目考試內(nèi)容包括實(shí)變函數(shù)一門學(xué)科基
礎(chǔ)課程，要求考生系統(tǒng)掌握相關(guān)學(xué)科的基本知識、基礎(chǔ)理論和基本方法，并能運(yùn)用相關(guān)理論
和方法分析、解決相關(guān)的實(shí)際問題。
三、考試內(nèi)容概要
第一章 集合
1. 考試內(nèi)容
§1 集合概念：集合的描述與表示，子集，集合的相等。
§2 集合的運(yùn)算：集合的并、交、差、補(bǔ)運(yùn)算及其性質(zhì)，笛·摩根公式：上限集、下限
集及其性質(zhì)。
§3 對等與基數(shù)：映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質(zhì)；對等及其性質(zhì)；基數(shù)與
基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理。
§4 可數(shù)集合：可數(shù)集的定義及等價(jià)條件，可列集及其性質(zhì)，可列集的判斷證明。
§5 不可數(shù)集合: 不可數(shù)集的存在性, 連續(xù)基數(shù)及其性質(zhì)，連續(xù)基數(shù)的判斷證明，基數(shù)
無最大者。
2. 考試要求
⑴ 理解集合的并、交、差、補(bǔ)、上限集于下限集等概念，熟練掌握集合的各種運(yùn)算，
掌握證明集合間包含與相等關(guān)系的一般方法。
⑵ 了解基數(shù)的概念，掌握證明兩個(gè)集合對等的方法，會(huì)用伯恩斯坦定理，理解有限集
與無限集的特征。
⑶ 理解可數(shù)集與具有連續(xù)基數(shù)的集的概念及其性質(zhì)，掌握可數(shù)集, 連續(xù)基數(shù)的判斷證
明方法。
3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn) 集合的運(yùn)算及其運(yùn)性質(zhì)，集合的對等，基數(shù)的比較，可數(shù)集與具有連續(xù)基數(shù)的集
合的性質(zhì)。
難點(diǎn)上限集、下限集、可數(shù)集, 連續(xù)基數(shù)的判斷證明。
第二章 點(diǎn)集
1. 考試內(nèi)容
§1 度量空間，n 維歐氏空間：度量空間概念、鄰域及其性質(zhì)、收斂點(diǎn)列、點(diǎn)集的距離
與直徑、區(qū)間概念。
§2 聚點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)：內(nèi)電，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)及孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)及其等價(jià)條件，邊
界，內(nèi)核、導(dǎo)集與閉包概念及其簡單性質(zhì)。Bolzano-Weierstrass 定理，
§3 開集、閉集、完備集：開集與閉集的及其運(yùn)算性質(zhì)，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，
緊集、自密集與完備集。
§4. 直線上的開集、閉集和完備集的構(gòu)造：直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。
平面上開集的構(gòu)造，康托（Cantor）集的構(gòu)造與性質(zhì)。
2. 考試要求
⑴ 理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集、閉集等基本概念及聚點(diǎn)的等價(jià)條件，
⑵ 熟練掌握開集、閉集的性質(zhì)，掌握開集、閉集的判斷證明方法。了解直線上開集的
構(gòu)造，知道直線上閉集和完備集的構(gòu)造。
⑶ 了解 Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理。
⑷ 了解 Cantor 集的構(gòu)造及其性質(zhì)。
3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn) 聚點(diǎn)及其等價(jià)條件，Bolzano-Weierstrass 定理，直線上開集的構(gòu)造，Borel 有限
覆蓋定理，Cantor 集。
難點(diǎn) 聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、開集、閉集、完備集等概念，Cantor 集的構(gòu)造及其性質(zhì)。
第三章、測度論
1. 考試內(nèi)容
§1 外測度：外測度及其性質(zhì)，
§2 可測集：可測集的定義，卡拉皆屋獨(dú)利條件，可測集的運(yùn)算性質(zhì)，單調(diào)可測集列極
限的測度。
§3 可測集類：區(qū)間、開集、閉集皆可測、G6 型集，F(xiàn)?型集，可測集同開集、閉集、G6
型集、F?型集之間的關(guān)系。
2. 考試要求
⑴ 了解勒貝格外測度的定義及主要性質(zhì)。
⑵ 理解勒貝格可測集的定義并掌握其運(yùn)算。
⑶ 理解勒貝格測度的可列可加性以及單調(diào)可測集列極限的測度。
⑷ 了解常見的可測集合,知道勒貝格可測集與開集、閉集、G6 型集與 F?型集之間的關(guān)
系。
3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn) 勒貝格可測集的運(yùn)算性質(zhì)，單調(diào)可測集列極限的測度，可測集同開集、閉集、G6 型
集以及 F?型集之間的關(guān)系。
難點(diǎn) 可測集概念的引入與可測集的構(gòu)造。
第四章、可測函數(shù)
1. 考試內(nèi)容
§1 可測函數(shù)及其性質(zhì)：點(diǎn)集上的函數(shù)：廣義實(shí)數(shù)系 R=R∪(±∞)的運(yùn)算�？蓽y函數(shù)的
定義及等價(jià)條件，連續(xù)函數(shù)與簡單函數(shù)皆可測，可測函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，
可測函數(shù)同簡單函數(shù)列的關(guān)系，“幾乎處處”的概念。
§2 葉果洛夫定理：可測函數(shù)列的收斂性, 葉果洛夫定理。
§3 可測函數(shù)的構(gòu)造：魯金定理（兩種形式）
§4 依測度收斂：依測度收斂，依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定
理，黎斯定理，依測度收斂極限的唯一性。
2. 考試要求
⑴ 了解點(diǎn)集上的連續(xù)函數(shù)、函數(shù)列的上極限與下極限、“幾乎處處”等概念。
⑵ 理解可測函數(shù)的定義及其在代數(shù)運(yùn)算與極限運(yùn)算下的封閉性，可測函數(shù)可表為簡單
函數(shù)列的極限。
⑶ 了解魯金定理，知道可測函數(shù)同連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。
⑷ 理解可測函數(shù)列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互
關(guān)系。
3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn) 可測函數(shù)定義及等價(jià)條件，可測函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，依測度
收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系，魯金定理。
難點(diǎn) 葉果洛夫定理，黎斯定理，魯金定理。
第五章、勒貝格積分
1. 考試內(nèi)容
§5.1 黎曼積分：黎曼積分定義，達(dá)布定理，
§5.2 勒貝格積分的定義：測度有限集合上有界函數(shù)的勒貝格大和與小和，上積分與下
積分，有界勒貝格可積函數(shù)，有界可積的充要條件是有界可測，有界勒貝格可積函數(shù)的運(yùn)算
性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。
§5.3 勒貝格積分的性質(zhì)：有界函數(shù)積分的積分區(qū)域與被積函數(shù)的有限可加性，積分的
線性性質(zhì)。積分的單調(diào)性與絕對可積性，
§5.4 一般可積函數(shù)：非負(fù)函數(shù)積分存在與可積的定義，一般函數(shù)積分存在與可積定義，
勒貝格積分的性質(zhì)。
§5.5 積分的極限定理：勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數(shù)列積分定理，勒貝格逐項(xiàng)
積分定理，可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關(guān)系。
§5.6 勒貝格積分的幾何意義. 富比尼定理：直積、截面的概念及性質(zhì)，勒貝格積分的
幾何意義.，富比尼定理。
2. 考試要求
⑴ 理解勒貝格積分的定義及其基本性質(zhì)，特別是絕對可積性和絕對連續(xù)性是勒貝格積
分的重要特征。
⑵ 理解勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項(xiàng)積分定理、列維定理和法都引理，并掌握它
們的應(yīng)用。
⑶ 知道勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。
⑷ 知道直積、截面的概念及性質(zhì)，熟識勒貝格積分的幾何意義.，了解富比尼定理。
3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn) 勒貝格積分的性質(zhì)，積分極限定理。
難點(diǎn) 勒貝格積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。
主要參考書：
《實(shí)變函數(shù)》，周民強(qiáng)編，北京大學(xué)出版社（第二版）
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