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《數(shù)學(xué)分析》考研大綱
一、參考書目
《數(shù)學(xué)分析》（第三版，上下冊），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社
二、考試內(nèi)容范圍
第一部分 集合與函數(shù)
1、集合
實(shí)數(shù)集 ? 、有理數(shù)與無理數(shù)的調(diào)密性，實(shí)數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定
理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理。平面上的距離、鄰域、聚點(diǎn)、界點(diǎn)、邊界、開集、閉集、有
界（無界）集、平面上的閉矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理、基本點(diǎn)列等。
2、函數(shù)
函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理。
初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì)。
第二部分 極限與連續(xù)
數(shù)列極限
數(shù)列極限的 N? ? 定義，收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）
數(shù)列收斂的條件（Cauchy 準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系），
極限
1
lim (1 )
n
n
e
n? ?
? ? 及其應(yīng)用。
函數(shù)極限
各種類型的一元函數(shù)極限的定義（? ?? 、 M? ? 語言 ），函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、
局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和 Cauchy 收斂準(zhǔn)則，兩個重要極限：
sin 1
0
lim 1, lim (1 )
xx
x x
x x
e
? ? ?
? ? ? 及其應(yīng)用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大
量、階的比較，記號 о 與 O 的意義。多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函
數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系。
函數(shù)的連續(xù)性
函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，一致連續(xù)性概念。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），
有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值可達(dá)性、介值性、一致連續(xù)性）。
第三部分 微分學(xué)
1、一元函數(shù)微分學(xué)
（i）導(dǎo)數(shù)與微分
導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可
微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性。
（ii）微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用
Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余項與 Lagrange
余項)及應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性判別法，極值、最值、曲線凹凸性討論。
2、多元函數(shù)微分學(xué)
（i）偏導(dǎo)數(shù)與全微分
偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全
微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二
元函數(shù)中值定理與 Taylor 公式。
(ii) 隱函數(shù)定理與多元微分的應(yīng)用
隱函數(shù)存在定理的應(yīng)用，隱函數(shù)組存在定理的應(yīng)用，隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法，反函數(shù)組與坐
標(biāo)變換。幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法
線）。極值問題研究（必要條件與二元極值的充分條件），條件極值與 Lagrange 乘數(shù)法的應(yīng)
用。
第四部分 積分學(xué)
一元函數(shù)積分學(xué)
(i)不定積分
原函數(shù)與不定積分概念、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法等）。
(ii)定積分
定積分概念與幾何意義 ，可積條件（必要條件、充要條件： i i
x? ?? ?? ），可積函數(shù)類。
定積分性質(zhì)（關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理）
變上限積分函數(shù)，微積分基本定理，N-L 公式及定積分計算，定積分第二中值定理應(yīng)用。
(iii)廣義積分
無限區(qū)間上的廣義積分概念、Canchy 收斂準(zhǔn)則，絕對收斂與條件收斂。 ( )f x 非負(fù)時
( )
a
f x dx
??
? 的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）， Abel 判別法，Dirichlet 判別法。
無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法。
(iv)定積分的應(yīng)用
微元法思想。幾何應(yīng)用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋
轉(zhuǎn)體體積），其他應(yīng)用。
多元函數(shù)積分學(xué)
（i）重積分與含參量積分
二重積分概念及其幾何意義，二重積分的計算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換）。
三重積分概念，三重積分計算（化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換）。重積分的應(yīng)用（體
積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）。含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算
順序的可交換性。含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可
微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性。
(ii) 曲線積分與曲面積分
第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算，第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算。
Green 公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、
計算。奧高公式、Stoke 公式。兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系。
第五部分 級數(shù)
1、數(shù)項級數(shù)
級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Canchy 準(zhǔn)則，收斂必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)。正項級數(shù)
收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式。交錯級數(shù)的
Leibniz 判別法。一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性 ，Abel 判別法，Dirichlet 判別法
2、函數(shù)項級數(shù)
函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致性收斂性，Cauchy 準(zhǔn)則，一致收斂性判別法（M-判別法、Able
Dirichlet 判別法）。一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。
冪級數(shù)
冪級數(shù)概念、Abel 定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、
可微性及其應(yīng)用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系。函數(shù)的冪級數(shù)展開。
三、試卷結(jié)構(gòu)及題型比例
試卷題型：計算題、證明題和綜合題
試卷滿分：150 分
四、考試時間和考試方式
考試時間：180 分鐘（3 小時）；
考試方式：閉卷筆試；所列題目全部為必答題。
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