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2020西南石油大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生招生專業(yè)課考試大綱
考試科目名稱：高等代數(shù)
一、考試性質(zhì)
高等代數(shù)是碩士研究生入學(xué)考試科目之一。本考試大綱的制定力求反映招生類型的特點，科學(xué)、公平、準(zhǔn)確、規(guī)范地測評考生的相關(guān)基礎(chǔ)知識掌握水平，考生分析問題和解決問題及綜合知識運用能力。應(yīng)考人員可根據(jù)本大綱的內(nèi)容和要求自行學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容和掌握有關(guān)知識。
本大綱主要包括行列式、矩陣、線性方程組、方陣對角化、二次型、多項式、線性空間、線性變換和歐幾里得空間等內(nèi)容。
二、考試主要內(nèi)容
1、 行列式
考試范圍：n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)與計算。
基本要求：
（1）理解排列及其逆序數(shù)，理解n階行列式的定義，能利用定義計算行列式的值。
（2）熟練掌握行列式的性質(zhì)，能熟練計算低階行列式的值，能計算較簡單的n階行列式的值。
2、矩陣
考試范圍：矩陣及其運算，分塊矩陣與矩陣的初等變換，矩陣的秩，可逆矩陣。
基本要求：
（1）理解矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、方陣的冪及矩陣的轉(zhuǎn)置等概念，熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律。
（2）理解分塊矩陣、準(zhǔn)對角矩陣、初等變換和初等矩陣的概念，熟練掌握分塊矩陣的運算。
（3）理解初等變換與初等矩陣的概念及基本作用，了解矩陣等價的概念及性質(zhì)，能用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。
（4）理解矩陣的子式、矩陣的秩的定義，熟練掌握矩陣的秩的性質(zhì)，能求矩陣的秩。
（5）理解滿秩矩陣的概念，掌握滿秩矩陣的性質(zhì)。
（6）掌握兩個方陣與其乘積的秩的關(guān)系式，能熟練運用方陣乘積的行列式的公式。
（7）理解可逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。
（8）理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，會用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，能熟練運用矩陣的初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，能解矩陣方程。
3、線性方程組
考試范圍：向量及其線性運算，向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩， 線性方程組解的判定定理，齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
基本要求：
（1）理解n維向量的概念，熟練掌握n維向量的線性運算及其運算規(guī)律。
（2）理解向量組的線性組合的概念，能將向量表示成向量組的線性組合。
（3）理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義，熟練掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別法，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論。
（4）理解向量組等價、向量組的極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念，理解向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
（5）會求向量組的秩和向量組的一個極大線性無關(guān)組，并能用向量組的一個極大線性無關(guān)組線性表出該向量組中的其它向量。
（6）理解線性方程組的基本概念，掌握克拉默（Cramer）法則，會用克拉默法則解線性方程組。
（7）熟練掌握線性方程組解的判定定理，能用初等變換法解線性方程組。
（8）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解等概念，掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)，能熟練解齊次線性方程組。
（9） 掌握非齊次線性方程組解的性質(zhì)，理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。
（10）掌握非齊次線性方程組的性質(zhì)，理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，能熟練解非齊次線性方程組。
4、方陣對角化
考試范圍：內(nèi)積，特征值與特征向量，矩陣對角化。
基本要求：
（1）理解向量的內(nèi)積、正交向量組的概念，掌握內(nèi)積、正交向量組的性質(zhì)，掌握施密特（Schmidt）正交化方法。
（2）理解正交矩陣的概念，熟練掌握正交矩陣的性質(zhì)和實方陣是正交矩陣的條件。
（3）理解方陣的特征值、特征向量、特征多項式和特征方程等概念，會求矩陣的特征值和特征向量，熟練掌握方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。
（4）理解矩陣相似的概念，并熟練掌握它們的性質(zhì)。
（5）理解方陣相似對角矩陣的條件，掌握將矩陣對角化的方法。
（6）理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，熟練掌握用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法。
5、二次型
考試范圍：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形，正定二次型。
基本要求：
（1）理解二次型及其矩陣、秩、線性替換、矩陣合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形等概念，會用用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，熟練掌握用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。
（2）掌握慣性定理，理解正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)等概念。
（3）理解正定二次型及正定矩陣等概念，掌握實二次型是正定二次型的條件，掌握正定二次型與正定矩陣的判別法。
6、多項式
考試范圍：一元多項式的運算及其整除性，最大公因式，因式分解唯一定理和重因式，復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式。
基本要求：
（1）理解一元多項式的基本概念，熟練掌握一元多項式的運算。
（2）理解一元多項式的整除的概念，掌握整除的性質(zhì)和定理。
（3）理解最大公因式、互素等概念，掌握有關(guān)定理，能用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式。
（4）理解不可約多項式、重因式等概念，理解因式分解唯一定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式，掌握多項式無重因式的充要條件。
（5）了解復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的多項式的因式分解定理。
（6）理解艾森斯坦因判別法，能求有理系數(shù)多項式的有理根。
7、線性空間
考試范圍：線性空間的定義與性質(zhì)，向量組的線性關(guān)系，維數(shù)、基、坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。
基本要求：
（1）理解線性空間的定義，掌握線性空間的簡單性質(zhì)。
（2）理解線性空間中向量組的線性組合、向量的線性表出、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組等價、向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩等概念，掌握有關(guān)重要結(jié)論。
（3）理解線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)等概念，能求線性空間的維數(shù)與一組基，能求向量的坐標(biāo)。
（4）掌握基變換與坐標(biāo)變換公式，能求由一組基到另一組基的過渡矩陣。
（5）理解線性子空間和子集生成的子空間等概念，掌握子空間判別方法。
（6）理解子空間的交與和等概念，掌握子空間的交與和的重要性質(zhì)和維數(shù)公式。
（7）理解子空間的直和概念，掌握子空間的直和的重要性質(zhì)。
（8）理解映射、單射映射、滿射映射、雙射映射和同構(gòu)映射等概念，掌握同構(gòu)映射的基本性質(zhì)。
8、線性變換
考試范圍：線性變換及其運算，線性變換的矩陣，線性變換的特征值與特征向量，不變子空間。
基本要求：
（1）理解線性變換、可逆線性變換等概念及其性質(zhì)，掌握線性變換的運算，掌握可逆線性變換的判定方法，了解線性變換的冪與多項式。
（2）理解線性變換的矩陣的概念，能求線性變換的矩陣，掌握同一個線性變換在不同基下的矩陣間的關(guān)系。
（3）理解線性變換的特征值與特征向量的概念，能求線性變換的特征值與特征向量。
（4）掌握線性變換的特征值和特征向量的性質(zhì)，掌握線性變換在一組基下的矩陣是對角矩陣的條件。
（5）理解不變子空間、特征子空間、值域和核等概念，掌握線性變換的秩與零度的關(guān)系。
9、歐幾里得空間
考試范圍：歐氏空間的定義與性質(zhì)，度量矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交補(bǔ)，歐氏空間的同構(gòu)，正交變換與對稱變換。
基本要求：
（1）理解歐氏空間及其度量的概念，掌握歐氏空間的性質(zhì)。
（2）理解度量矩陣的概念，能求度量矩陣，掌握不同基的度量矩陣之間的關(guān)系。
（3）理解正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念，掌握基是標(biāo)準(zhǔn)正交基的條件，掌握從一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣的性質(zhì)。
（4）理解正交和、正交補(bǔ)、內(nèi)射影等概念，掌握正交補(bǔ)的求法和有關(guān)理論。
（5）理解歐氏空間同構(gòu)的概念。
（6）理解正交變換與對稱變換等概念，掌握正交變換與對稱變換的有關(guān)性質(zhì)。
三、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
1、考試時間和分值
考試時間為180分鐘，試卷滿分為150分。
2、考試題型結(jié)構(gòu)
（1）計算題：根據(jù)題目內(nèi)容完成相應(yīng)問題的計算，要求給出具體計算過程。
（2）證明題：根據(jù)題目內(nèi)容完成相應(yīng)問題的證明，要求給出具體證明過程。
四、參考書目
1、《高等代數(shù)教程》（第一版），上冊，王萼芳編著，清華大學(xué)出版社，2011
2、《高等代數(shù)教程》（第一版），下冊，王萼芳編著，清華大學(xué)出版社，2011
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