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2020西南石油大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生招生專業(yè)課考試大綱

考試科目名稱:高等代數(shù)

一、考試性質(zhì)

高等代數(shù)是碩士研究生入學(xué)考試科目之一。本考試大綱的制定力求反映招生類型的特點,科學(xué)、公平、準(zhǔn)確、規(guī)范地測評考生的相關(guān)基礎(chǔ)知識掌握水平,考生分析問題和解決問題及綜合知識運用能力。應(yīng)考人員可根據(jù)本大綱的內(nèi)容和要求自行學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容和掌握有關(guān)知識。

本大綱主要包括行列式、矩陣、線性方程組、方陣對角化、二次型、多項式、線性空間、線性變換和歐幾里得空間等內(nèi)容。

二、考試主要內(nèi)容

1、 行列式

考試范圍:n階行列式的定義,n階行列式的性質(zhì)與計算。

基本要求:

(1)理解排列及其逆序數(shù),理解n階行列式的定義,能利用定義計算行列式的值。

(2)熟練掌握行列式的性質(zhì),能熟練計算低階行列式的值,能計算較簡單的n階行列式的值。

2、矩陣

考試范圍:矩陣及其運算,分塊矩陣與矩陣的初等變換,矩陣的秩,可逆矩陣。

基本要求:

(1)理解矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、方陣的冪及矩陣的轉(zhuǎn)置等概念,熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律。

(2)理解分塊矩陣、準(zhǔn)對角矩陣、初等變換和初等矩陣的概念,熟練掌握分塊矩陣的運算。

(3)理解初等變換與初等矩陣的概念及基本作用,了解矩陣等價的概念及性質(zhì),能用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。

(4)理解矩陣的子式、矩陣的秩的定義,熟練掌握矩陣的秩的性質(zhì),能求矩陣的秩。

(5)理解滿秩矩陣的概念,掌握滿秩矩陣的性質(zhì)。

(6)掌握兩個方陣與其乘積的秩的關(guān)系式,能熟練運用方陣乘積的行列式的公式。

(7)理解可逆矩陣的概念,掌握可逆矩陣的性質(zhì),掌握矩陣可逆的充分必要條件。

(8)理解伴隨矩陣的概念,掌握伴隨矩陣的性質(zhì),會用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣,能熟練運用矩陣的初等變換求可逆矩陣的逆矩陣,能解矩陣方程。

3、線性方程組

考試范圍:向量及其線性運算,向量組的線性相關(guān)性,向量組的秩, 線性方程組解的判定定理,齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

基本要求:

(1)理解n維向量的概念,熟練掌握n維向量的線性運算及其運算規(guī)律。

(2)理解向量組的線性組合的概念,能將向量表示成向量組的線性組合。

(3)理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義,熟練掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別法,掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論。

(4)理解向量組等價、向量組的極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念,理解向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。

(5)會求向量組的秩和向量組的一個極大線性無關(guān)組,并能用向量組的一個極大線性無關(guān)組線性表出該向量組中的其它向量。

(6)理解線性方程組的基本概念,掌握克拉默(Cramer)法則,會用克拉默法則解線性方程組。

(7)熟練掌握線性方程組解的判定定理,能用初等變換法解線性方程組。

(8)理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解等概念,掌握齊次線性方程組解的性質(zhì),能熟練解齊次線性方程組。

(9) 掌握非齊次線性方程組解的性質(zhì),理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。

(10)掌握非齊次線性方程組的性質(zhì),理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),能熟練解非齊次線性方程組。

4、方陣對角化

考試范圍:內(nèi)積,特征值與特征向量,矩陣對角化。

基本要求:

(1)理解向量的內(nèi)積、正交向量組的概念,掌握內(nèi)積、正交向量組的性質(zhì),掌握施密特(Schmidt)正交化方法。

(2)理解正交矩陣的概念,熟練掌握正交矩陣的性質(zhì)和實方陣是正交矩陣的條件。

(3)理解方陣的特征值、特征向量、特征多項式和特征方程等概念,會求矩陣的特征值和特征向量,熟練掌握方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

(4)理解矩陣相似的概念,并熟練掌握它們的性質(zhì)。

(5)理解方陣相似對角矩陣的條件,掌握將矩陣對角化的方法。

(6)理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì),熟練掌握用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法。

5、二次型

考試范圍:二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,正定二次型。

基本要求:

(1)理解二次型及其矩陣、秩、線性替換、矩陣合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形等概念,會用用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,熟練掌握用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

(2)掌握慣性定理,理解正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)等概念。

(3)理解正定二次型及正定矩陣等概念,掌握實二次型是正定二次型的條件,掌握正定二次型與正定矩陣的判別法。

6、多項式

考試范圍:一元多項式的運算及其整除性,最大公因式,因式分解唯一定理和重因式,復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解,有理系數(shù)多項式。

基本要求: 

(1)理解一元多項式的基本概念,熟練掌握一元多項式的運算。

(2)理解一元多項式的整除的概念,掌握整除的性質(zhì)和定理。

(3)理解最大公因式、互素等概念,掌握有關(guān)定理,能用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式。

(4)理解不可約多項式、重因式等概念,理解因式分解唯一定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式,掌握多項式無重因式的充要條件。

(5)了解復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的多項式的因式分解定理。

(6)理解艾森斯坦因判別法,能求有理系數(shù)多項式的有理根。

7、線性空間

考試范圍:線性空間的定義與性質(zhì),向量組的線性關(guān)系,維數(shù)、基、坐標(biāo),基變換與坐標(biāo)變換,線性子空間,子空間的交與和,子空間的直和,線性空間的同構(gòu)。

基本要求: 

(1)理解線性空間的定義,掌握線性空間的簡單性質(zhì)。

(2)理解線性空間中向量組的線性組合、向量的線性表出、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組等價、向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩等概念,掌握有關(guān)重要結(jié)論。

(3)理解線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)等概念,能求線性空間的維數(shù)與一組基,能求向量的坐標(biāo)。

(4)掌握基變換與坐標(biāo)變換公式,能求由一組基到另一組基的過渡矩陣。

(5)理解線性子空間和子集生成的子空間等概念,掌握子空間判別方法。

(6)理解子空間的交與和等概念,掌握子空間的交與和的重要性質(zhì)和維數(shù)公式。

(7)理解子空間的直和概念,掌握子空間的直和的重要性質(zhì)。

(8)理解映射、單射映射、滿射映射、雙射映射和同構(gòu)映射等概念,掌握同構(gòu)映射的基本性質(zhì)。

8、線性變換

考試范圍:線性變換及其運算,線性變換的矩陣,線性變換的特征值與特征向量,不變子空間。

基本要求:

(1)理解線性變換、可逆線性變換等概念及其性質(zhì),掌握線性變換的運算,掌握可逆線性變換的判定方法,了解線性變換的冪與多項式。

(2)理解線性變換的矩陣的概念,能求線性變換的矩陣,掌握同一個線性變換在不同基下的矩陣間的關(guān)系。

(3)理解線性變換的特征值與特征向量的概念,能求線性變換的特征值與特征向量。

(4)掌握線性變換的特征值和特征向量的性質(zhì),掌握線性變換在一組基下的矩陣是對角矩陣的條件。

(5)理解不變子空間、特征子空間、值域和核等概念,掌握線性變換的秩與零度的關(guān)系。

9、歐幾里得空間

考試范圍:歐氏空間的定義與性質(zhì),度量矩陣,標(biāo)準(zhǔn)正交基,正交補(bǔ),歐氏空間的同構(gòu),正交變換與對稱變換。

基本要求:

(1)理解歐氏空間及其度量的概念,掌握歐氏空間的性質(zhì)。

(2)理解度量矩陣的概念,能求度量矩陣,掌握不同基的度量矩陣之間的關(guān)系。

(3)理解正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念,掌握基是標(biāo)準(zhǔn)正交基的條件,掌握從一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣的性質(zhì)。

(4)理解正交和、正交補(bǔ)、內(nèi)射影等概念,掌握正交補(bǔ)的求法和有關(guān)理論。

(5)理解歐氏空間同構(gòu)的概念。

(6)理解正交變換與對稱變換等概念,掌握正交變換與對稱變換的有關(guān)性質(zhì)。

三、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

1、考試時間和分值

考試時間為180分鐘,試卷滿分為150分。

2、考試題型結(jié)構(gòu)

(1)計算題:根據(jù)題目內(nèi)容完成相應(yīng)問題的計算,要求給出具體計算過程。

(2)證明題:根據(jù)題目內(nèi)容完成相應(yīng)問題的證明,要求給出具體證明過程。

四、參考書目

1、《高等代數(shù)教程》(第一版),上冊,王萼芳編著,清華大學(xué)出版社,2011

2、《高等代數(shù)教程》(第一版),下冊,王萼芳編著,清華大學(xué)出版社,2011

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